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    从效用到CAPM(2):风险

    导语:在经济学中,风险,就是未来的不确定性,是未知的收益或损失。本篇文章将通过效用模型分析我们对风险的衡量,解释为什么我们要把风险分散化。

    本文由JoinQuant量化课堂推出,难度为进阶

     

    导语:在经济学中,风险,就是未来的不确定性,是未知的收益或损失。本篇文章将通过效用模型分析我们对风险的衡量,解释为什么我们要把风险分散化。

    本文由JoinQuant量化课堂推出,难度为进阶上,理解程度为 level-1。 阅读本文章需要掌握效用模型(level-0)的知识。 作者:肖睿 编辑:宏观经济算命师


    本文是一系列文章中的第二篇。本系列从基础概念入手,推导出 CAPM 模型。系列中共有四篇:

    效用模型风险模型MPT 模型CAPM 模型
    风险和收益

    我们经常说到“高风险高回报”或者“鸡蛋不应该放在同一个篮子里”的概念。但是这些概念的逻辑究竟是什么呢?这其实可以用效用模型来解释。

    我们先假设一个投资项目,这个项目有一半的概率失败,一半概率成功。如果失败的话,投资者损失十万元,成功的话投资者获利十万元。这是不是所谓的“高风险高回报”呢?不是。这是高风险无回报,并且如果一个理智投资者的效用函数符合上一篇的“正常”性质,那么他不会投资这个项目。我们用效用函数来看看为什么。

    gainandloss.jpg

    由于效用函数的增速是递减的,这个投资者在损失十万元时会损失很多效用,但在获利十万元时获得的效用却不多。因此,虽然在账面上这个投资的回报一半几率亏损十万,一半几率获得十万,在概率上是盈亏持平;但在效用的层面,投资者有一半几率损失很多效用,一半几率获得一点效用,平均下来是效用亏损的。因此,如果一个投资者注重的是效用而不是财富的数值,那么他应该回避这项投资。

    风险厌恶

    通常来讲,假设一项投资 A 的回报可以用随机变量 XX 表示,这项投资的回报预期是 E[X]E[X]。再假设一个投资者具备效用函数 uu,并且现有财富是 x0x0。那么,该投资者投资于 A 后的财富值可以用随机变量 x0+Xx0+X 表示,并且他进行该投资的效用是 u(x0+X)u(x0+X),这项投资带给他的额外效用是 u(x0+X)−u(x0)u(x0+X)−u(x0)。因此,投资于 A 带给投资者的预期效用收益是 E[u(x0+X)−u(x0)]E[u(x0+X)−u(x0)]。如果这个值是负的,说明投资者在预期上是要损失效用的;如果是正的,说明投资者在预期上是得到效用的。所以,“高风险高回报”指的不是最高可能产生的收益 max(X)max(X) 高,而是预期收益 E[X]E[X] 高。

    定义:如果一个随机变量 RR 满足 E[R]=0E[R]=0,我们说 RR 是一个零收益投资。

    命题:设 uu 为一个“正常”的效用函数,设 x0≥0x0≥0,并且设 RR 为一个零收益投资。那么 E[u(x0+R)]≤u(x0)E[u(x0+R)]≤u(x0)。

    也就是说,对于一项没有预期收益的投资,一个效用函数“正常”的投资者在预期上是损失效用的,原因正如上一节所讲。因此,我们也可以从风险的角度来理解“正常”,有了以下定义。

    定义:如果一个投资者的效用函数 uu 是“正常”的,也就是说满足上一篇中(P1)和(P2)的性质,我们说他是风险厌恶的(risk averse)。

    投资的风险就是它的收益的不确定性。任何投资 XX 都可以被写为预期收益 E[X]E[X] 和零收益投资 X−E[X]X−E[X] 两部分的加和。其中零收益部分带来预期效用下降,所以需要足够大的 E[X]E[X] 来弥补;这里,E[X]E[X] 被定义为这项投资的风险溢价(risk premium),只有当风险溢价高于风险所带来的效用折损时,投资者才愿意进行投资。下面举一个例子。

    为了保持计算的简便性,我们设定一个简单的风险厌恶的效用函数 u(x)=x√u(x)=x。假设一投资的随机变量 XX 的收益和概率分配如下

    X: (−10000,2/5),(10000,2/5),(20000,1/5).X: (−10000,2/5),(10000,2/5),(20000,1/5).
    那么 XX 的预期收益是
    E[X]=25⋅(−10000)+25⋅10000+15⋅20000=4000.E[X]=25⋅(−10000)+25⋅10000+15⋅20000=4000.

    如果投资者的现有资产是 x1=10000x1=10000,我们看他是否应该进行投资。计算

    E[u(x1+X)]=25⋅u(10000−10000)+25⋅u(10000+10000)+15⋅u(10000+20000)=25⋅0√+25⋅20000−−−−−√+15⋅30000−−−−−√≈0+56.57+34.64=96.21.E[u(x1+X)]=25⋅u(10000−10000)+25⋅u(10000+10000)+15⋅u(10000+20000)=25⋅0+25⋅20000+15⋅30000≈0+56.57+34.64=96.21.
    这个值小于起始的效用值 u(10000)=100u(10000)=100,因此在预期上是损失效用的,不应投资。

    再假设投资者的总资产变成了 x2=20000x2=20000,再做一次计算

    E[u(x2+X)]=25⋅u(20000−10000)+25⋅u(20000+10000)+15⋅u(20000+20000)=25⋅10000−−−−−√+25⋅30000−−−−−√+15⋅40000−−−−−√≈40.00+69.28+40.00=149.28.E[u(x2+X)]=25⋅u(20000−10000)+25⋅u(20000+10000)+15⋅u(20000+20000)=25⋅10000+25⋅30000+15⋅40000≈40.00+69.28+40.00=149.28.
    这次的计算结果大于 u(x2)≈141.42u(x2)≈141.42。我们看出,由于总资产增加了,因此投资者可以承受更大的风险,之前预期效用为负的投资变成了预期效用为正,因此可以进行投资。

    分散风险

    如导语中所述,经济学中的“风险”指的是未来的不确定性;而从概率学的角度来说,一个随机变量的分布越散开,它的确定性就越低。因此,有一个简易的衡量风险的标准,就是收益变量的标准差 σXσX。

    一般来讲,在保持 E[X]E[X] 不变的情况下,我们希望 σXσX 越低越好。下面就讲一个例子。

    继续沿用效用函数 u(x)=x√u(x)=x,并且有总资产 x0=10000x0=10000。假设我们的全部资产一万元在河对岸,并且有必要把它们全部运过来。运输本身没有成本,但是在这条河上行驶的船只有 50%50% 的概率会沉船,两只船的沉与不沉是完全独立的;如果沉船的话会损失该船上所有的资产。我们要决定一个配置方案:将资产平均分配到多少条船上进行运输。

    先来计算一条船的情况。我们有一半概率损失所有财产,一半概率保留所有财产。因此运输结果可以用 X1X1 表示:

    X1: (10000,1/2),(0,1/2).X1: (10000,1/2),(0,1/2).
    有财富预期 E[X1]=5000E[X1]=5000,标准差是
    σX1=12⋅(10000−5000)2+12⋅(0−5000)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=5000,σX1=12⋅(10000−5000)2+12⋅(0−5000)2=5000,
    且效用预期是
    E[u(X1)]=12⋅10000−−−−−√+12⋅0√=50.E[u(X1)]=12⋅10000+12⋅0=50.

    再者将资产平分于两条船。两条都沉船的概率是 1/41/4,两条都不沉的概率是 1/41/4,只有一条沉的概率是 1/21/2。因此可以用随机变量 X2X2 表示:

    X2: (10000,1/4),(5000,1/2),(0,1/4),X2: (10000,1/4),(5000,1/2),(0,1/4),
    财富预期没有变,E[X2]=5000E[X2]=5000,标准差是
    σX2=14⋅(10000−5000)2+12⋅(5000−5000)2+14⋅(0−5000)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√≈3535.53.σX2=14⋅(10000−5000)2+12⋅(5000−5000)2+14⋅(0−5000)2≈3535.53.
    计算与其效用,有
    E[u(X2)]=14⋅10000−−−−−√+12⋅5000−−−−√+12⋅0√≈14⋅100.00+12⋅70.71=25.00+35.35=60.35,E[u(X2)]=14⋅10000+12⋅5000+12⋅0≈14⋅100.00+12⋅70.71=25.00+35.35=60.35,
    大于 X1X1 的预期效用 5050。

    对于三条船的情况,读者可以自行计算其相对应的随机变量 X3X3 为

    X3: (10000,1/8),(6666.66,3/8),(3333.33,3/8),(0,1/8).X3: (10000,1/8),(6666.66,3/8),(3333.33,3/8),(0,1/8).
    同样,E[X3]=5000E[X3]=5000,并且计算可得知
    σX3≈2886.75E[u(X1)].

    我们说“将风险分散”了,那么在概率学的层面发生了什么?观察随机变量的分布,发现从 X1,X2,X3X1,X2,X3,均值保持在 50005000 不变,但是概率分布在向均值靠拢。因此,不确定性降低了,或者说,标准差 σσ 降低了。

    我们画一个简单的图来直观地解释一下为什么预期效用上升了。假设下图中的蓝线是效用函数,两侧的两个红点是投资可能对财造成的变化,下方的黑条是每种可能性的概率分布。

    beforespread.jpg

    由于风险厌恶的效用函数是凹函数,所以效用函数在两侧的取值的平均要小于它在中间点的取值。

    afterspread.jpg

    把概率分布向中心聚拢的话,得到离中心更近的两个点,标为绿色。并且,由于效用函数是凹的,它在两个绿点的平均取值要高于外侧两个红点的取值的平均。由于外侧的概率被向绿点位置分配,所以预期的效用较之前的情况是提升了。

    在上面的例子中,如果继续计算 X4,X5,…X4,X5,… 的话,会发现当 nn 越大时, σXnσXn 就越接近 00, 并且 E[u(Xn)]E[u(Xn)] 越接近 u(E[Xn])=5000−−−−√=70.71u(E[Xn])=5000=70.71。

    对投资者的假设

    定义:对于一个投资者,如果任意两个投资回报率的随机变量 XX 和 YY 满足 E[X]≥E[Y]E[X]≥E[Y] 并且 σX

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